BA 抽卡胜率

你有 $n$ 次招募机会，一共要抽中 $m$ 个限定角色（单发概率 $p=0.7\mathrm{\%}$，设 $q=1-p$），一井为 $t=200$ 发，求成功几率。

假设九蓝一金不影响出彩概率，那么最优策略一定是每次在未获得的限定成员处招募一次，直到能井出所有剩余成员。

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考虑所有成功情况，枚举 $k$ 个角色是抽出来的，$r=m-k$ 个靠吃井，设总共招募 $x$ 次，则有 $x\ge tr,x-1<t(r+1),x\le mt$。

1. 非酋 $k=0,P_0=q^{mt}$
2. $k>0,P_k={\displaystyle \sum _{i=tr}^{tr+t-1}{p}^k{q}^{i-k}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{k-1})}=p^k\sum _{j=0}^{t-1}{q}^j{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k+j-1}{k-1})}=[X^{t-1}]\frac{p^k}{(1-qX{)}^k}\cdot \frac{1}{1-X}}$

所求为 ${\displaystyle P=P_0+\sum _{k=1}^m{P}_k=P_0+[X^{t-1}]\frac{1}{1-X}\sum _{k=1}^m{\left(\frac{p}{1-qX}\right)}^k=P_0+[X^{t-1}]\frac{1}{1-X}\frac{p}{1-qX}\frac{{\left(\frac{p}{1-qX}\right)}^m-1}{\frac{p}{1-qX}-1}=q^{mt}-\frac{p}{q}[X^{t-1}]\frac{{\left(\frac{p}{1-qX}\right)}^m-1}{(1-X{)}^2}=q^{mt}-\frac{p}{q}\sum _{i=0}^{t-1}(t-i)[[X^i]{\left(\frac{p}{1-qX}\right)}^m-[i=0]]=q^{mt}-\frac{p}{q}\sum _{i=0}^{t-1}(t-i)[p^m{q}^i{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m-1+i}{m-1})}-[i=0]]}$